Diviseurs et algèbre - Corrigé

Énoncé

On note \(u_n=n(4n-1)(11n+11)\) où \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

1. Montrer que  \(u_n\) est pair.

2. Montrer que  \(u_n\) est divisible par \(3\) .

Solution

Soit  \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

1. On peut remarquer que \(u_n=11n(n+1)(4n-1)\) .
Le produit  \(n(n+1)\) étant le produit de deux entiers consécutifs, il est pair car \(n\) ou \((n+1)\) l'est. Par conséquent,  \(u_n\) est pair.

On peut aussi raisonner par disjonction de cas.

• Si  \(n\) est pair, alors  \(n=2k\) avec \(k \in \mathbb{N}^\ast\) . On a alors :
    \(\begin{align*} u_n & =2k(4 \times 2k-1)(11 \times 2k+11) \\ & =2k(8k-1)(22k+11) \\ & =2k' \end{align*}\)  
  avec \(k'=k(8k-1)(22k+11) \in \mathbb{N}\) , et donc  \(u_n\) est pair.
• Si  \(n\) est impair, alors  \(n=2k+1\)   avec \(k \in \mathbb{N}\) . On a alors :
    \(\begin{align*} u_n & =(2k+1)(4 \times (2k+1)-1)(11 \times (2k+1)+11) \\ & =(2k+1)(8k+3)(22k+22) \\ & =2(2k+1)(8k+3)(11k+11) \\ & =2k' \end{align*}\)  
  avec \(k'=(2k+1)(8k+3)(11k+11) \in \mathbb{N}\) , et donc  \(u_n\) est pair.

2. On raisonne par disjonction de cas.

• Si  \(n=3k\) avec \(k \in \mathbb{N}^\ast\) , on a alors : 
    \(\begin{align*} u_n & =3k(4 \times 3k-1)(11 \times 3k+11) \\ & =3k(12k-1)(33k+11) \\ & = 3k' \end{align*}\)   
  avec \(k'=k(12k-1)(33k+11) \in \mathbb{N}\) , et donc  \(u_n\) est divisible par \(3\) .
• Si \(n=3k+1\) avec \(k \in \mathbb{N}\) , on a alors : 
    \(\begin{align*} u_n & =(3k+1)(4 \times (3k+1)-1)(11 \times (3k+1)+11) \\ & =(3k+1)(12k+3)(33k+22) \\ & =3(3k+1)(4k+1)(33k+22) \\ & = 3k' \end{align*}\)   
  avec \(k'=(3k+1)(4k+1)(33k+22) \in \mathbb{N}\) , et donc  \(u_n\) est divisible par \(3\) .
• Si \(n=3k+2\) avec \(k \in \mathbb{N}\) , on a alors : 
    \(\begin{align*} u_n & =(3k+2)(4 \times (3k+2)-1)(11 \times (3k+2)+11) \\ & =(3k+2)(12k+7)(33k+33) \\ & =3(3k+2)(12k+7)(11k+11) \\ & = 3k' \end{align*}\)   
  avec \(k'=(3k+2)(12k+7)(11k+11) \in \mathbb{N}\) , et donc  \(u_n\) est divisible par \(3\) .